EXERCICE 4 1. Soit n un entier naturel non nul. un+1 ≤ 0, 95un ⇔ n10 (n + 1)10 2n+1 (n + 1)10 ≤ 0, 95 n ⇔ ≤ 0, 95 n ⇔ 2n+1 2 n10 2 n+1 n
10

On a montré que

≤ 0, 95 × 2 ⇔ 1 n 1 x
10

1+

1 n

10

≤ 1, 9.

pour tout entier naturel n, un+1 ≤ 0, 95un si et seulement si −1 x2 1 x
9

1+

≤ 1, 9.
9

2. a. f est dérivable sur [1, +∞[ et pour x ≥ 1, f ′ (x) = 10. sur [1, +∞[ et donc

1+

=−

10 x2

1+

. f ′ est strictement négative

f est strictement décroissante sur [1, +∞[. 1 tend vers 0 et donc x 1 x
10

Quand x tend vers +∞,

1+

tend vers (1 + 0)10 c’est-à-dire 1.

x→ +∞

lim f(x) = 1.

b. f est continue et strictement décroissante sur [1, +∞[. Donc pour tout réel k de l’intervalle ] lim f(x), f(1)], l’équation x→ +∞

f(x) = k admet une solution et une seule dans l’intervalle [1, +∞[. Or f(1) = 210 = 1024 et x→ +∞

x→ +∞

lim f(x) = 1. Donc

lim f(x) < 1, 9 < f(1) et l’équation f(x) = 1, 9 admet une et une seule solution notée α dans [1, +∞[. Il existe un réel α et un seul dans l’intervalle [1, +∞[ tel que f(α) = 1, 9.

c. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Puisque f est décroissante sur l’intervalle [1, +∞[ et que n − 1, α et n sont dans cet intervalle,
10 10 √ 1 1 1 1 10 1, 9 ≤ 1 + ≤ 1, 9 ≤ 1 + ⇔1+ ≤ n n−1 n n−1 √ 1 1 1 10 √ ≤ n (∗). 1, 9 − 1 ≤ ⇔ ≤ ⇔ n − 1 ≤ 10 n n−1 1, 9 − 1

n − 1 ≤ α ≤ n ⇔ f(n) ≤ f(α) ≤ f(n − 1) ⇔

1+

1 √ Or 10 = 15, 08 . . . et donc, puisque n est un entier, l’encadrement (∗) équivaut à n = 16. 1, 9 − 1 n0 = 16.

d. Soit n un entier naturel non nul. De nouveau, f étant décroissante sur [1, +∞[, si n ≥ 16 ≥ α, on a f(n) ≤ f(16) ≤ f(α) 10 1 ce qui s’écrit 1 + ≤ 1, 9. n Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 16, on a 1+ 1 n
10

≤ 1, 9.
10

3. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 16. D’après la question précédente, on a la question 1., on a encore un+1 ≤ 0, 95un . Mais un 0, 95un < un . Ainsi, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 16,