Exo7
Arithmétique dans Z

1

Divisibilité, division euclidienne

Exercice 1
Sachant que l’on a 96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre
96842 par chacun des nombres 256 et 375.
Indication

Correction

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[000251]

Exercice 2
Montrer que ∀n ∈ N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24, n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.
Correction

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[000257]

Exercice 3
Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3.
Correction

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[000267]

Exercice 4
Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8.
Indication

Correction

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[000254]

Exercice 5
Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000 .
Indication

Correction

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[000250]

Exercice 6
1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
2. Montrer de même que tout nombre pair vérifie x2 = 0 (mod 8) ou x2 = 4 (mod 8).
3. Soient a, b, c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a2 +b2 +c2 et celui de 2(ab+bc+ca).
4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab + bc + ca non plus.
Indication

Correction

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[000285]

1

2

pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide

Exercice 7
Calculer le pgcd des nombres suivants :
1. 126, 230.
2. 390, 720, 450.
3. 180, 606, 750.
Correction

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[000290]

Exercice 8
Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
Correction

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[000292]

Exercice 9
Calculer par l’algorithme d’Euclide : pgcd(18480, 9828). En déduire une écriture de 84 comme combinaison linéaire de 18480 et 9828.
Correction

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[000296]

Exercice 10
Notons a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789.
1. Calculer