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l'arc-en-ciel

L’arc-en-ciel

Selon Descartes et Newton le phénomène d'arc-en-ciel est dû à la réfraction et à la réflexion des rayons lumineux du soleil à travers les gouttes d'eau qui constituent les nuages. L'air a un indice de réfraction égale à 1. Les gouttes d’indice moyen n = 1,33 dispersent la lumière blanche du soleil et on observe de la terre le spectre du visible.
1. Rappelez les lois de Descartes sur la réflexion et la réfraction. En quoi consiste le phénomène de réflexion totale ?
2. Un rayon lumineux monochromatique arrive sur une goutte sous l’angle d’incidence i. Il est réfracté, puis il subit une réflexion totale à l’intérieur de la goutte et est à nouveau réfracté pour sortir de la goutte. i r 2r

D

r

i

Exprimez l’angle de déviation D du rayon lumineux en fonction des angles d’incidence et de réfraction i et r
3. Donnez l’expression du sinus de l’angle d’incidence im correspondant au minimum de déviation
Dm , en fonction de n. Faites l'application numérique.
4. Calculer Dm et en déduire l’angle θ sous lequel on voit de la terre l’arc-en ciel primaire. Faire un schéma. 5. L’indice n de l'eau varie en fonction de la longueur d’onde suivant la relation de
Cauchy ; n = A + B λ 2 avec A et B des constantes positives. Pour un angle d’incidence i fixé, montrer que ( ∂D ∂λ )i < 0 . En déduire la répartition des couleurs dans l’arc-en-ciel.
6. Reprendre les mêmes questions lorsqu’il y a deux réflexions totales à l’intérieur de la goutte. On observe alors l’arc-en-ciel secondaire.

solution
1. les lois de la réflexion sont les suivantes :
- le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence
- i1 = i 2

l'arc-en-ciel

2

et les lois de la réfraction :
- le rayon transmis est dans le plan d'incidence
- n 1 sini 1 = n 2 sini 2
Il y a réflexion totale lorsque i 2 ≥ π 2 et i 1 ≤ π 2 . Donc uniquement dans le cas où n 2 ≤ n 1 .
2. l'angle de déviation est :

D = i + ( π − r ) + ( π − 2r ) + ( i − r ) = 2 π + 2i − 4r .
3. On cherche l'angle im pour lequel la