Lycée Louis le Grand, Paris
Mathématiques, 2nde 5
21 septembre 2015

Corrigé des exercices sur les calculs algébriques

1.

Développer :

(a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 + (a + b + c) 2

2
2
2
2
En utilisant l’identité remarquable : (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca
(a − b) 2 + (b − c) 2 + €
(c − a) 2 + (a + b + c) 2 =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= ( a − 2ab + b ) + (b − 2bc + c ) + (c − 2ca + a ) + ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca)
2
2
2
€
= 3a + 3b + 3c

€

€
€
2.

Simplifier :

a b
+ −2 b a a −b

Il faut tout d’abord supposer que a ≠ 0, b ≠ 0 et a – b ≠ 0 (soit a ≠ b) pour que cette expression ait un sens.
€
En réduisant au même dénominateur le numérateur de cette fraction,
⎛ a 2 + b 2 − 2ba ⎞ a b
⎟ ⎛
+ − 2 ⎜ ba (a − b) 2 ⎞⎛ 1 ⎞ a − b
⎝
⎠ b a
=
= ⎜
⎟ =
⎟⎜
a −b a −b ba ⎝ ba ⎠⎝ a − b ⎠ après simplification par (a – b).
€

3.

Factoriser : x 3 − 8
Il faut utiliser l’identité remarquable : x 3 − 8 = x 3 −€2 3 = (x − 2)( x 2 + 2x + 4 )

a 3 − b 3 = (a − b)( a 2 + ab + b 2 )

Avec les outils à votre programme, il n’est pas possible de factoriser davantage. €

€

Factoriser : a( x 3 +1) − x ( a 3 +1)

4.

Il faut développer, puis regrouper différemment les termes. a( x 3 +1) − x€
(a3 +1) = ax 3 + a − xa3 − x = (ax 3 − xa3 ) + (a − x) . Or

ax 3 − xa 3 = ax ( x 2 − a 2 ) = ax(x − a)(x + a) ce qui fournit un facteur apparent :

a( x 3 +1) − x ( a 3 +1) = (x − a)[ ax(x + a) −1] = (x − a)( ax 2 + xa 2 −1) .
La réponse peut être donnée indifféremment sous l’une ou l’autre forme.
Il n’est pas possible de factoriser davantage.

€
€
€

1
2
et b = . Calculer :
2
5 la somme des inverses de ces nombres l’inverse de la somme de ces nombres l’opposé de la somme de ces€ nombres
€
la somme de leurs carrés le carré de leur somme

On considère les nombres : a =

5.

a)
b)
c)
d)
e)
a)

somme des inverses :

b)

inverse de la somme :

c)

€ opposé de la somme :

d)

somme des carrés€:

e)

€: carré de la somme

1 1 2 5 4 +5 9
+ = + =
=
a b 1 2
2
2
1
1
1
1
10
=
=
=
=
⎛
⎞