1.7 Les suites

Propriété 2 Suites divergentes

• Une suite croissante et non majorée diverge vers +1
• Une suite décroissante et non minorée diverge vers -1

Démonstration :

Démontrons le premier point. La méthode est analogue pour le second point.
Soit (un) une suite croissante non majorée, et A un nombre réel quelconque.
La suite n’est pas majorée, donc il existe un rang k tel que uk > A
Or, la suite (un) est croissante, donc pour tout n > k, on a : un > uk
Donc pour tout entier n > k, on a un > A
Conclusion : La suite (un) diverge vers +1.

Théorème 13 Suites adjacentes

Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent et elles ont la même limite

Démonstration :

Soient deux suites (un) et (vn) telles que :

(un) soit croissante, (vn) décroissante et lim n-> +1
(un - vn) = 0

1. Montrons que pour tout n, un 6 vn

On pose wn = vn - un. Étudions le sens de variation de (wn) wn+1 - wn = (vn+1 - un+1) - (vn - un)
= (vn+1 - vn) - (un+1 - un)

Or, la suite (un) est croissante, donc (un+1 - un) > 0
Et la suite (vn) est décroissante, donc (vn+1 - vn) 6 0
On en déduit que : (wn+1 - wn) 6 0, la suite est donc décroissante.
De plus on sait que : lim vn - un = 0 la suite (wn) est donc positive et pour tout n on a : vn - un > 0 () vn > un

2. Montrons que les suites (un) et (vn) sont convergentes. pour tout n, on sait que un 6 vn.
Or, la suite (vn) est décroissante, donc pour tout n, vn 6 v0.
On en déduit que pour tout n, un 6 v0
Conclusion : la suite (un) est croissante et majorée par v0, donc convergente.
On procède de même pour la suite (vn).
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3. Montrons que les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite. la suite (un) converge vers L, et la suite (vn) converge vers l.
D’après les propriétés de la limite d’une différence, on a : lim (vn - un) = l - L
Or, lim vn - un = 0 donc l - L = 0, c’est à dire : l = L.

Conclusion : les suites convergent vers la même limite et le théorème est démontré.