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Nombres complexes

Née pour résoudre des équations, la théorie des nombres complexes est devenue un incontournable de la science. On en retrouve des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique. En effet pour traiter un problème réel on peut être amené à « plonger » ce problème dans les nombres complexes, où la résolution sera plus simple, pour ensuite
« redescendre » dans les réels et conclure le raisonnement. C’est le cas pour la résolution d’équations différentielles, pour l’étude de suites ou encore l’étude de phénomènes vibratoires.
Réponse à la question : l’ensemble de Mandelbrot
Soient a et b deux réels. Les deux suites réelles définies par xn+1 = xn2 - yn2 + a et yn+1 = 2xn yn + b, avec x0 = y0 = 0, peuvent se réunir en une seule suite complexe, notée zn+1 = zn2 + c, en posant zn = xn + iyn . Ici c = a + ib, avec i2 = −1.
L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des points C de coordonnées (a ; b) tels que ni xn, ni yn ne tendent vers l’infini quand n tend vers l’infini.

Vérifier ses acquis
1 a. x = 3 ∈ N ; b. x = –4 ∈ Z ;
3
c. x = ∈ D ;
2

2
d. x = ∈ Q.
3

1
2

2 1. a. S = {- ; 1} ; b. S = {1} ;
1- 5 1+ 5
c. S = {- 2 ; 2} ; d. S = { ;
}
2
2
e. S = Æ ;
f. S = Æ.
2. Les solutions de c. et d. sont irrationnelles.

3 a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

b. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
c. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. p 6

p
6

3 1 ; ).
2 2
1
3 1
3
b. B(- ; ) ; c. C(- ; - ) ;
2 2
2
2
3
1
d. D( ; - ).
2
2

4 1. a. A(cos ; sin ) donc A(

1 p p
2. A′(cos ; sin ) donc A′( ;
3
3
2
1 3
1
3
B′(- ;
) ; C′(- ; - ) ; D′(
2
2 2
2
1 J

B’
B

3
) ;
2
3
1
; - ).
2
2
A’
A

0,5

I

O
–1

–0,5

0
–0,5

C
C’

ur u 0,5

uuur

1

D
D’

uuur

uur uuur

uuur

uur

ur

5 a. OI = CO = BA = DE ; OA = DO = CB = EI.

uuur uuur uuur uuur ur u b. OB = OA + AB = OA – OI. µ = p ; IOB µ = 2 p = AOC µ = IOD µ = DEI µ ;
c. IOA
3
3 µ = p ; CEI µ = p .
IOC
2
6 a. AB = 42 + 32 = 5 ; AC = 72 + 1 = 5 2 ;
BC =